Pokaz

Example/content/Lecture-10/2.md

@@ -0,0 +1,88 @@
+## Приложения
+
+### Поиск максимального паросочетания в двудольном графе.
+
+Задача: есть парни и девушки.
+Какие-то парни знакомы с какими-то девушками.
+Нужно переженить как можно больше пар, при условии:
+1. Женить можно только знакомых.
+2. Многожёнство/многомужничество запрещено.
+
+В терминах теории графов: есть двудольный граф (левая доля --- мальчики, правая --- девочки).
+Рёбра --- это знакомства (могут быть только между долями).
+Паросочетание --- это набор рёбер без общих концевых вершин.
+Нужно найти максимальное паросочетание (по количеству рёбер).
+
+Алгоритм решения:
+* Добавляем новые вершины: исток $s$ и сток $t$.
+* Из истока $s$ в каждую вершину $u$ левой доли добавляем ребро.
+* Из любой вершины $v$ правой доли добавляем ребро в сток $t$.
+* Приписываем всем рёбрам пропускную спосбность 1.
+* Находим максимальный поток из $s$ в $t$.
+* Искомое паросочетание --- это те рёбра между долями, по которым течёт поток.
+
+Поскольку пропускные способности целые и единичные, в максимальном потоке все величины будут $0$ или $1$.
+Если посмотреть на рёбро $(u, v)$ между долями, по которому течёт поток, то:
+* в начало $u$ втекает единица потока (из $s$ по ребру $(s, u)$);
+* из конца $v$ вытекает единица потока (в $t$ по ребру $(v, t)$).
+
+Это так в силу закона сохранения потока и того, что больше потоку неоткуда браться/неоткуда течь.
+Заметим, что и этих рёбер $(u, v)$ не может быть общих концевых вершин,
+т.к. иначе или из $s$ поток был бы больше единицы, либо в $t$ тёк бы поток больше $1$.
+По сути, рёбра $(s, u)$ обеспечивают несовпадение левых вершин и рёбра, а $(v, t)$ --- правых.
+
+Можно показать, что верно обратное: для любого паросочетания строится соответствующий поток в этой сети.
+
+### Рёберная теорема Менгера.
+
+Есть граф c выделенными вершинами $s$ и $t$.
+Теорема Менгера гласит, что следующие числа совпадают:
+* максимальное количество путей из $s$ в $t$ без общих рёбер;
+* минимальное количество рёбер, при удалении которых нельзя добраться из $s$ в $t$.
+
+
+Если рассматривать граф как сеть с единичными пропускными способностями, то:
+* любой набор путей из $s$ в $t$ без общих рёбер --- это поток в сети, а по любому потоку можно построить непересекающиеся пути;
+* рёбра любого $A|B$ разреза дают набор рёбер, удаление которых ведёт к несвязности $s$ и $t$.
+
+В таком случае теорема Менгера следует из теорема Форда-Фалкерсона для этой сети.
+
+Найти рёберно-непересекающиеся пути (максимальное количествово) можно так:
+1. Ищем максимальный поток $f$ в сети.
+2. Пока $|f| > 0$:
+2.1. Находим любой путь $P$ из $s$ в $t$, вдоль которого течёт поток.
+2.2. Вычитаем из потока $f$ единичный поток вдоль $P$ (стираем поток вдоль $P$).
+
+Для поиска пути вдоль потока достаточно обычного цикла, никакого $DFS$/$BFS$ не требуется.
+
+В конце останется поток $|f| = 0$.
+В нём всё ещё может течь какой-то поток по кругу.
+
+Время работы: $O(E^2)$, т.к. $|f| \le |E|$.
+
+### Вершинная теорема Менгера.
+
+Есть граф c выделенными вершинами $s$ и $t$.
+Теорема Менгера гласит, что следующие числа совпадают:
+* максимальное количество путей из $s$ в $t$ без общих промежуточных вершин;
+* минимальное количество вершин, при удалении которых нельзя добраться из $s$ в $t$.
+
+Чтобы найти вершинно-непересекающиеся пути, нужно ограничить количество путей, которые идут через каждую вершину.
+В сети можно ограничивать только объём потока через рёбра.
+Значит нужно воткнуть в каждую вершину по ребру, и как-то заставить поток течь по этим рёбрам при прохождении вершины.
+
+Решение: строим удвоенный граф, у каждой вершины $u$ есть "верхняя" вершина $u_1$ и "нижняя" вершина $u_2$.
+Строим рёбра:
+1. Для каждой вершины $u$ ставим ребро из $u_1$ в $u_2$  (т.е. вниз) пропускной способности 1.
+2. Для каждого ребра $(u, v)$ исходного графа ставим ребро из $u_2$ в $v_1$ (если граф неориентированный,
+      надо ещё добавить ребро из $v_2$ в $u_1$).
+
+Получается, что поток по-прежнему распадается на пути, но при прохождении каждой вершины путь вынужден "протекать вниз".
+Это делается через ребро единичной пропускной способности, что обеспечивает отсутствие пересечений по вершине.
+
+Алгоритм поиска вершинно-непересекающихся путей:
+1. строим удвоенный граф;
+2. находим максимальный поток $f$ из $s_2$ в $t_1$;
+3. высекаем из потока $f$ пути так же, как в предыдущем алгоритме.
+
+Время работы составит $O(V \cdot E)$, т.к. $|F| \le |V|$.