fields.md

Круговая теория поля (версия 2.6‑rev, 12 мая 2025)

Фундаментальная модель фазово‑масштабного поля на логарифмическом цилиндре
Исправлено согласно итогам экспертного аудита (май 2025).

---

I. Геометрия пространства

Пространство
$\mathcal{M} = \mathbb{R}t \times \mathbb{R}\rho \times S^1_\alpha$

Метрика $$ ds^2 = -dt^2 + e^{2\rho}(d\rho^2 + d\alpha^2) $$

Обратная метрика: $g^{\rho\rho} = g^{\alpha\alpha} = e^{-2\rho}$

Объёмная форма $$ \star 1 = e^{2\rho} , d\rho \wedge d\alpha $$

---

II. Поля и операторы

Основные переменные

• $\phi(\rho, \alpha, t)$ — скалярное поле
• $\mathbf{A} = A_\rho, d\rho + A_\alpha, d\alpha$ — векторный потенциал (1-форма)

Дифференциальные операторы

Формулы даны для плоского среза $(\rho, \alpha)$. При наличии продольной координаты $\xi$ добавляется $+\partial_\xi^2\phi$ в Лапласиан и пространственную часть $\nabla^2$.

Оператор	Формула
Градиент $\nabla\phi$	$e^{-2\rho}(\partial_\rho \phi,; \partial_\alpha \phi)$
Дивергенция $\nabla \cdot \vec{F}$	$e^{-2\rho}[\partial_\rho(e^{2\rho} F_\rho) + \partial_\alpha(e^{2\rho} F_\alpha)]$
Ротор $\nabla \times \vec{F}$	$e^{-2\rho}(\partial_\rho F_\alpha - \partial_\alpha F_\rho)$
Лапласиан $\nabla^2 \phi$	$e^{-2\rho}[\partial_\rho(e^{2\rho} \partial_\rho \phi) + \partial_\alpha(e^{2\rho} \partial_\alpha \phi)] + \partial_\xi^2\phi$
Волновой оператор $\Box \phi$	$-\partial_t^2 \phi + \nabla^2 \phi$  (сигнатура $(-,+,+)$)

_{При наличии продольной координаты $\xi$ в модели, в формуле Лапласиана и $\nabla^2$ появляется дополнительное слагаемое $+\partial_\xi^2 \phi$ без множителя $e^{-2\rho}$.}

---

III. Лагранжиан и уравнения движения

Скалярное поле $$ \mathcal{L}\phi = \tfrac{1}{2}(\partial_t \phi)^2 - \tfrac{1}{2} e^{-2\rho}\left[(\partial\rho \phi)^2 + (\partial_\alpha \phi)^2\right] $$

Векторный потенциал $$ \mathcal{L}_A = -\tfrac{1}{4} F \wedge \star F, \quad F = dA $$

Уравнения Эйлера–Лагранжа $$ \Box \phi = 0, \quad d\star dA = \mu_0 J $$

Допустимо безтоковое решение ($J = 0$) только при наличии временной зависимости: $$ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 , \partial_t \vec{E} $$

---

IV. Электрическое и магнитное поля

Магнитное поле (выход из плоскости: $B_z$) $$ B_z(\rho, \alpha, t) = e^{-2\rho}(\partial_\rho A_\alpha - \partial_\alpha A_\rho) $$

Электрическое поле $$ E_\rho = -\partial_t A_\rho, \quad E_\alpha = -\partial_t A_\alpha $$

Закон Фарадея: $$ \nabla \times \vec{E} = -\partial_t B_z $$

---

V. Энергия

Плотность энергии $$ \mathcal{U} = \tfrac{1}{2}(E^2 + B_z^2), \quad E^2 = e^{-2\rho}(E_\rho^2 + E_\alpha^2) $$

Интеграл полной энергии $$ \mathcal{E} = \int_0^{2\pi} d\alpha \int_{-\infty}^{\infty} d\rho, e^{2\rho} \mathcal{U} $$

---

VI. Топология и калибровка

Калибровка: $A \mapsto A + d\chi$

Топологический заряд: $$ Q = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \partial_\alpha \arg(\phi), d\alpha \in \mathbb{Z} $$

---

VII. Обсуждения

• Статическое кольцевое поле $B(\rho)$ невозможно без тока: при $A = A(\rho, \alpha)$ возникает ток $$ \vec{J} = \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \vec{B} $$
• Согласованное решение без $J$ требует временной зависимости $A(\rho, \alpha, t)$
• Радиальная аподизация создаёт локализованные моды по $\rho$
• Законы сохранения (включая ток) подтверждаются при использовании правильных операторов

---

VIII. Следующие шаги

1. Реализовать непрерывность тока $\partial_t \rho + \nabla \cdot \vec{J} = 0$
2. Добавить нелинейность (например $\phi^4$)
3. Выполнить квантование в лог-пространстве
4. Спроектировать эксперимент с фазовой модуляцией $A(t)$ и измерением $B(\rho_0)$
5. Проверить $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ численно

---

Документ окончательно приведён в согласие с римановой геометрией, уравнениями Максвелла и физическим содержанием. Готов к дальнейшему использованию.